Кривец начал профессиональную карьеру в 2003 году в минском «Локомотиве». Затем он перешел в БАТЭ, где четыре года подряд становился чемпионом Беларуси, забил в 92 матчах 29 мячей, а также сыграл в групповом раунде Лиги чемпионов. В 2009 году Кривца признали лучшим игроком высшей лиги.
В конце 2009 года Кривец перешел в познаньский «Лех», став с ним чемпионом Польши. За «Лех» Кривец забил восемь голов в 59 матчах. Потом белорус подписал контракт с «Цзянсу Сунин» из китайского Нанкина. За клуб из Поднебесной в 20 матчах Кривец забил один гол и выиграл в 2013 году Суперкубок. Затем хавбек вернулся в БАТЭ, где забил в 35 матчах 18 голов, дважды выиграл золото, а также получил звание лучшего полузащитника чемпионата и футболиста года Беларуси (2014).
С 2014 по 2016 год Кривец выступал за французский «Мец», где в 36 играх забил два мяча. Шесть матчей он сыграл за вторую команду «Меца», забив один гол.
Сезон 2016/17 Сергей провел в плоцкой «Висле», где в 23 играх забил два гола. Летом 2017-го он перешел в клуб «Арка» из Гдыни.
За сборную Беларуси полузащитник провел 38 матчей и забил пять мячей.
В составе брестского «Динамо» Кривец может выйти на поле после 19 июля, когда откроют летнее трансферное окно. Контракт с ним подписан на 2,5 года.
